Библиотека · Общественное достояние

Собрание статейСринивасы Рамануджана

Name: Collected Papers of Srinivasa Ramanujan
Author: Srinivasa Ramanujan

Сриниваса Рамануджан · 1911 · пересказ с английского оригинала

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

Выберите версию

Один и тот же текст на каждом уровне, на всех языках и во всех оформлениях, что здесь есть. Выберите, потом слушайте или скачивайте.

ЯзыкАнглийский Русский Испанский

Уровень1 · Как в книге 2 · Формулы с объяснением 3 · Формулы словами 4 · Идеи и примеры 5 · Общая картина

ГолосМужской · Charon

РисункиГрафика тушью Белым по чёрному

Слушать и смотреть

Тот же плеер, который продукт даёт для вашей книги: голос, рисунки по мере того, как они рисуются, текст.

Первая статья, которую гений-самоучка опубликовал в 23 года в Мадрасе: странные закономерности чисел Бернулли, чисел, стоящих за суммами степеней. Большинство его утверждений верны, некоторые — догадки, одно ложно; лекции показывают, какое есть какое.

Это пробная часть: 1 из 37 (статьи).

Из лекций

Ряды клеток с коэффициентами котангенса и его гиперболического двойника; их сумма оставляет лишь каждое второе число Бернулли, а полоса вдвое короче показывает уменьшившуюся работу.

Семейство дробей в котангенсе

Двойник сокращает каждый второй член

Его второе улучшение смешивает обычный котангенс с его гиперболическим двойником — той же функцией, вычисленной от мнимого аргумента.

Столбчатая диаграмма величины первых двадцати чисел Бернулли по шкале степеней десяти: сначала малые, потом рост примерно до десяти в шестнадцатой.

Двадцать дробей и закономерности в них

Двадцать образцов

Продолжая так, он выписывает двадцать чисел Бернулли. Какое-то время они остаются маленькими — одна шестая, одна тридцатая, одна сорок вторая, снова одна тридцатая, пять шестьдесят шестых, — а потом быстро растут.

Формула: число Бернулли — это два эн факториал на два пи в степени эн, умноженные на сумму чуть больше единицы; для номера два она даёт ровно одну шестую; для десяти факториал разложение логарифма даёт 15,10441.

Определяем число по его величине

Величина через факториал

Откуда берутся такие грубые пределы? Параграф одиннадцатый приводит классическую формулу: число Бернулли равно двум, умноженным на факториал его номера, делённым на два пи в степени номера и умноженным на сумму единиц, делённых на каждое целое число в степени номера.

Три пути — обратные квадраты, знакопеременный хвост и гармоническая сумма — ведут к результату лишь через недоказанный мост: если мы сможем доказать.

Путь к доказательству — с одним разрывом

Три пути, один недостающий мост

Затем он повторяет приём дважды.

Формулы с интервалом один, два и три; корни степени p из единицы (или из i при чётном p), вставленные в котангенс, дают формулы с интервалом p и нитями с шагом 2p; пять корней пятой степени из единицы в вершинах правильного пятиугольника; сумма sin xα по пяти корням оставляет лишь каждую десятую степень: 5(x⁵/5! − x¹⁵/15! + ⋯).

Другие отправные точки и пятикратные сита

Пять корней на пятиугольнике

Во-вторых, число способов сокращения. Рамануджан называет свои прежние результаты формулами с интервалом один, два и три — по тому, насколько далеко друг от друга стоят уцелевшие числа Бернулли.

Примечание редакторов: иная нумерация и биномиальные коэффициенты; рекуррентное соотношение верно для нечётных номеров больше единицы; два вывода неверны, потому что ряд расходится; основные результаты известны (фон Штаудт — Клаузен, Эйлер); из восьми утверждений у трёх условные доказательства, два — следствия, три — гипотезы.

Четырёхкратное сито и окончательный вердикт

Три вида утверждений

Затем в книге напечатано примечание редакторов собрания статей, и это подходящее место, чтобы подвести итоги. Сначала мелкие уточнения: Рамануджан нумерует числа Бернулли иначе, чем большинство книг, а числа-коэффициенты в его равенствах — это обычные биномиальные коэффициенты.

Как это сделано

Уровень 3 · Трудное простыми словами
Демонстратор
Графика тушью · обычно
вопросами
ссылками на книгу
разобранными примерами
Голос: Charon (Gemini)
Язык лекций русского

Примеры для: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

Источник

Лекции пересказывают английского текст: the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). Автор умер в 1920 году; произведение перешло в общественное достояние. Пересказ, рисунки и голос сделаны ИИ и сверены с книгой второй моделью; вручную ничего не правилось. Как используется ИИ.

Лекции можно свободно читать, делиться ими и цитировать со ссылкой на эту страницу.

Ваша трудная книга — так же

Загрузите учебник или любую сложную книгу. Первые пять минут бесплатно.

Загрузить книгу