Библиотека · Общественное достояние

Собрание статейСринивасы Рамануджана

Name: Collected Papers of Srinivasa Ramanujan
Author: Srinivasa Ramanujan

Сриниваса Рамануджан · 1911 · пересказ с английского оригинала

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

Выберите версию

Один и тот же текст на каждом уровне, на всех языках и во всех оформлениях, что здесь есть. Выберите, потом слушайте или скачивайте.

ЯзыкАнглийский Русский Испанский

Уровень1 · Как в книге 2 · Формулы с объяснением 3 · Формулы словами 4 · Идеи и примеры 5 · Общая картина

ГолосМужской · Charon

РисункиГрафика тушью Белым по чёрному

Слушать и смотреть

Тот же плеер, который продукт даёт для вашей книги: голос, рисунки по мере того, как они рисуются, текст.

Первая статья, которую гений-самоучка опубликовал в 23 года в Мадрасе: странные закономерности чисел Бернулли, чисел, стоящих за суммами степеней. Большинство его утверждений верны, некоторые — догадки, одно ложно; лекции показывают, какое есть какое.

Это пробная часть: 1 из 37 (статьи).

Из лекций

Два ряда клеток с коэффициентами котангенса и гиперболического котангенса; при сложении остаются B0, B4, B8, при вычитании — B2, B6, B10; две полосы в конце сравнивают половину членов с четвертью.

Некоторые свойства чисел Бернулли

Каждый второй член сокращается

Параграф 3. Далее, −½x(ctg ½x + cth ½x) = −½x(ctg ½x + i ctg ½ix) = 2(B₀ + B₄ x⁴/4! + B₈ x⁸/8! + ⋯) в силу равенства один.

К каждому делителю 24 прибавляют единицу; составные вычёркивают; оставшиеся простые 2, 3, 5, 7, 13 перемножаются в 2730.

Параграфы 5–7

Строим знаменатель B24

Параграф 7. Теперь рассмотрим знаменатели.

Равенство двадцать девять даёт хвост обратных квадратов по степеням 1/n; затем сочетания B2 − 1/6, −B4 − 1/6 + 1/5, B6 − 1/6 + 1/7, −B8 − 1/6 + 1/5, B10 − 1/6 + 1/11 при известных значениях все дают 0.

Параграф 12

Коэффициенты, которые обязаны быть целыми

Из равенства двадцать семь имеем d² log Γ(n + 1)/dn² = 1/(n + 1)² + 1/(n + 2)² + 1/(n + 3)² + ⋯ = 1/n − 1/(2n²) + B₂/n³ − B₄/n⁵ + B₆/n⁷ − B₈/n⁹ + ⋯ − (−1)^p B₂ₚθ/n^(2p+1) — равенство двадцать девять. Здесь B₂ₚθ/n^(2p+1) = B₂ₚ/n^(2p+1) − B₂ₚ₊₂/n^(2p+3) + ⋯.

Результат тридцать пять: Bₙ/Bₙ₋₂ близко к n(n − 1)/(4π²); таблица от B14 до B20, где для каждого найдено, между какими двумя целыми оно лежит, а затем оно записано точно по правилу простых.

Параграфы 13–15

Каждое B по предыдущему

Параграф 14. Заменяя n на n − 2 в равенстве двадцать четыре и взяв отношение двух результатов, получаем Bₙ = (n(n − 1)/(4π²)) Bₙ₋₂ (1 − (2² − 1)/(2ⁿ − 1))(1 − (3² − 1)/(3ⁿ − 1))(1 − (5² − 1)/(5ⁿ − 1))⋯ — равенство тридцать четыре, где 2, 3, 5 и так далее — простые числа.

Равенства тридцать восемь — сорок: каждое выделяет одну нить чисел Бернулли через десять мест — B₀, B₁₀, B₂₀, …; B₂, B₁₂, B₂₂, …; B₄, B₁₄, B₂₄, … — как отношение двух рядов с коэффициентами 1 ± αₙ, построенными из (1 ± √5)/2.

Параграфы 16 и 17

По нити на формулу

Логарифмируя и дифференцируя обе части, получаем 5(B₀ + B₁₀x¹⁰/10! + B₂₀x²⁰/20! + B₃₀x³⁰/30! + ⋯) = −x ((x⁴/4!)(1 + α₅) − (x¹⁴/14!)(1 + α₁₅) + ⋯) / ((x⁵/5!)(1 + α₅) − (x¹⁵/15!)(1 + α₁₅) + ⋯) — равенство тридцать восемь, где αₙ = ((1 + √5)/2)ⁿ + ((1 − √5)/2)ⁿ, так что αₙαₘ = αₙ₊ₘ + (−1)ⁿαₘ₋ₙ.

Примечания из приложения по страницам: B₂ₙ вместо обычного Bₙ; cₖ — биномиальный коэффициент; равенство двенадцать верно при нечётном n > 1 с тремя вариантами последнего члена; выводы после (27) и (29) неверны, потому что ряд расходится при x ≥ n; целые коэффициенты были бы нечётны; (32) — из ψ(z + 1) − ψ(½z + 1); N и D — числитель и знаменатель B₄₄₄.

Параграф 18 и примечание редакторов

Примечания редакторов

Примечание редакторов из приложения I, примечания к статье 1. Страница 1, равенство один: Рамануджан пишет B₂ₙ там, где обычно пишут Bₙ. Страница 1, равенство два: cₖ = n!/(k!(n − k)!), биномиальный коэффициент.

Как это сделано

Уровень 1 · Слово в слово
Демонстратор
Графика тушью · обычно
вопросами
ссылками на книгу
разобранными примерами
Голос: Charon (Gemini)
Язык лекций русского

Примеры для: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

Источник

Лекции пересказывают английского текст: the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). Автор умер в 1920 году; произведение перешло в общественное достояние. Пересказ, рисунки и голос сделаны ИИ и сверены с книгой второй моделью; вручную ничего не правилось. Как используется ИИ.

Лекции можно свободно читать, делиться ими и цитировать со ссылкой на эту страницу.

Ваша трудная книга — так же

Загрузите учебник или любую сложную книгу. Первые пять минут бесплатно.

Загрузить книгу