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Библиотека · Общественное достояние

Собрание статейСринивасы Рамануджана

Сриниваса Рамануджан · 1911 · пересказ с английского оригинала

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

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ГолосМужской · Charon
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Первая статья, которую гений-самоучка опубликовал в 23 года в Мадрасе: странные закономерности чисел Бернулли, чисел, стоящих за суммами степеней. Большинство его утверждений верны, некоторые — догадки, одно ложно; лекции показывают, какое есть какое.

Это пробная часть: 1 из 37 (статьи).

Из лекций

Filas de recuadros de coeficientes para la cotangente y su gemela hiperbólica; al sumarlas solo queda un número de Bernoulli de cada dos, y una barra la mitad de larga muestra el trabajo reducido.
Una familia de fracciones en la cotangente

La gemela cancela un término de cada dos

Su segunda mejora mezcla la cotangente ordinaria con su gemela hiperbólica, que es la misma función evaluada en un argumento imaginario.

Un diagrama de barras del tamaño de los veinte primeros números de Bernoulli en escala de potencias de diez: pequeños al principio, que luego suben hasta cerca de 10 a la 16.
Veinte fracciones y sus patrones

Veinte ejemplares

Siguiendo así, enumera veinte números de Bernoulli. Durante un tiempo siguen siendo pequeños, un sexto, un treintavo, un cuarentaidosavo, otra vez un treintavo, cinco sesentaiseisavos, y luego suben deprisa.

La fórmula: un número de Bernoulli es dos por n factorial entre dos pi a la n, por una suma apenas mayor que uno; para el índice dos da exactamente un sexto; para diez factorial el desarrollo del logaritmo da 15,10441.
Cómo fijar un número a partir de su tamaño

El tamaño a partir de un factorial

¿De dónde salen esos límites aproximados? La sección once cita una fórmula clásica: un número de Bernoulli es igual a dos, por el factorial de su índice, dividido entre dos pi elevado al índice, por la suma de uno entre cada número entero elevado a ese índice.

Tres caminos, los inversos de cuadrados, la cola alterna y la suma armónica, llevan cada uno a un resultado solo a través de un puente no demostrado: si podemos demostrar.
Un camino hacia la demostración, con un hueco

Tres caminos, un puente que falta

Luego repite el truco dos veces.

Fórmulas de uno, dos y tres intervalos; las raíces p-ésimas de uno (o de i para p par) mezcladas en la cotangente dan fórmulas de p intervalos con hebras separadas de 2p en 2p; las cinco raíces quintas de uno en los vértices de un pentágono regular; la suma de sen xα sobre las cinco raíces conserva solo una potencia de cada diez: 5(x⁵/5! − x¹⁵/15! + ⋯).
Otros puntos de partida, y cribas de cinco vías

Cinco raíces en un pentágono

Segundo, el número de maneras de cancelar. Ramanujan llama a sus resultados anteriores fórmulas de un intervalo, de dos intervalos y de tres intervalos, según lo separados que quedan los números de Bernoulli que sobreviven.

La nota de los editores: numeración distinta y coeficientes binomiales; la recurrencia vale para índices impares mayores que uno; dos deducciones no válidas porque una serie diverge; los resultados principales ya conocidos (von Staudt–Clausen, Euler); de ocho afirmaciones, tres tienen demostraciones condicionales, dos son consecuencias, tres son conjeturas.
La criba de cuatro vías y el veredicto final

Tres tipos de afirmación

El libro imprime después una nota de los editores de los artículos reunidos, y es el lugar adecuado para hacer balance.

Как это сделано

Примеры для: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

Источник

Лекции пересказывают английского текст: the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). Автор умер в 1920 году; произведение перешло в общественное достояние. Пересказ, рисунки и голос сделаны ИИ и сверены с книгой второй моделью; вручную ничего не правилось. Как используется ИИ.

Лекции можно свободно читать, делиться ими и цитировать со ссылкой на эту страницу.

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