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Collected Papers ofSrinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan · 1911 · retold from the English original

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

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LanguageEnglishRussianSpanish
Level1 · As written2 · Formulas explained3 · Formulas in words4 · Ideas and examples5 · Big picture
VoiceMale · Charon
DrawingsGraphic inkWhite on black

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The first paper the self-taught genius ever published, written in Madras at 23: strange patterns in the Bernoulli numbers, the numbers behind sums of powers. Most of his claims are true, some are guesses, and one is false; the lectures show which is which.

This is a sample: 1 of 37 papers.

From the lectures

Filas de recuadros de coeficientes para la cotangente y su gemela hiperbólica; al sumarlas solo queda un número de Bernoulli de cada dos, y una barra la mitad de larga muestra el trabajo reducido.
Una familia de fracciones en la cotangente

La gemela cancela un término de cada dos

Su segunda mejora mezcla la cotangente ordinaria con su gemela hiperbólica, que es la misma función evaluada en un argumento imaginario.

Un diagrama de barras del tamaño de los veinte primeros números de Bernoulli en escala de potencias de diez: pequeños al principio, que luego suben hasta cerca de 10 a la 16.
Veinte fracciones y sus patrones

Veinte ejemplares

Siguiendo así, enumera veinte números de Bernoulli. Durante un tiempo siguen siendo pequeños, un sexto, un treintavo, un cuarentaidosavo, otra vez un treintavo, cinco sesentaiseisavos, y luego suben deprisa.

La fórmula: un número de Bernoulli es dos por n factorial entre dos pi a la n, por una suma apenas mayor que uno; para el índice dos da exactamente un sexto; para diez factorial el desarrollo del logaritmo da 15,10441.
Cómo fijar un número a partir de su tamaño

El tamaño a partir de un factorial

¿De dónde salen esos límites aproximados? La sección once cita una fórmula clásica: un número de Bernoulli es igual a dos, por el factorial de su índice, dividido entre dos pi elevado al índice, por la suma de uno entre cada número entero elevado a ese índice.

Tres caminos, los inversos de cuadrados, la cola alterna y la suma armónica, llevan cada uno a un resultado solo a través de un puente no demostrado: si podemos demostrar.
Un camino hacia la demostración, con un hueco

Tres caminos, un puente que falta

Luego repite el truco dos veces.

Fórmulas de uno, dos y tres intervalos; las raíces p-ésimas de uno (o de i para p par) mezcladas en la cotangente dan fórmulas de p intervalos con hebras separadas de 2p en 2p; las cinco raíces quintas de uno en los vértices de un pentágono regular; la suma de sen xα sobre las cinco raíces conserva solo una potencia de cada diez: 5(x⁵/5! − x¹⁵/15! + ⋯).
Otros puntos de partida, y cribas de cinco vías

Cinco raíces en un pentágono

Segundo, el número de maneras de cancelar. Ramanujan llama a sus resultados anteriores fórmulas de un intervalo, de dos intervalos y de tres intervalos, según lo separados que quedan los números de Bernoulli que sobreviven.

La nota de los editores: numeración distinta y coeficientes binomiales; la recurrencia vale para índices impares mayores que uno; dos deducciones no válidas porque una serie diverge; los resultados principales ya conocidos (von Staudt–Clausen, Euler); de ocho afirmaciones, tres tienen demostraciones condicionales, dos son consecuencias, tres son conjeturas.
La criba de cuatro vías y el veredicto final

Tres tipos de afirmación

El libro imprime después una nota de los editores de los artículos reunidos, y es el lugar adecuado para hacer balance.

How it was made

Examples for: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

The source

The lectures retell the English text of the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). The author died in 1920; the work is in the public domain. The retelling, the drawings and the voice are made by AI and checked against the book by a second model; nothing was edited by hand. How AI is used.

The lectures are free to read, share and quote with a link to this page.

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