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Collected Papers ofSrinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan · 1911 · retold from the English original

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

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LanguageEnglishRussianSpanish
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VoiceMale · Charon
DrawingsGraphic inkWhite on black

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The first paper the self-taught genius ever published, written in Madras at 23: strange patterns in the Bernoulli numbers, the numbers behind sums of powers. Most of his claims are true, some are guesses, and one is false; the lectures show which is which.

This is a sample: 1 of 37 papers.

From the lectures

Dos filas de recuadros de coeficientes para la cotangente y la cotangente hiperbólica; al sumarlas quedan B0, B4, B8 y al restarlas quedan B2, B6, B10; un par final de barras muestra la mitad de los términos frente a una cuarta parte.
Algunas propiedades de los números de Bernoulli

Se cancela un término de cada dos

Sección 3. De nuevo, −½x(cot ½x + coth ½x) = −½x(cot ½x + i cot ½ix) = 2(B₀ + B₄ x⁴/4! + B₈ x⁸/8! + ⋯), usando la ecuación uno.

A cada divisor de 24 se le suma uno; se tachan los compuestos; los primos que quedan, 2, 3, 5, 7, 13, multiplicados dan 2730.
Secciones 5 a 7

Cómo se construye el denominador de B24

Sección 7. Consideremos ahora los denominadores.

La ecuación veintinueve da la cola de los inversos de los cuadrados en potencias de 1/n; luego las combinaciones B2 − 1/6, −B4 − 1/6 + 1/5, B6 − 1/6 + 1/7, −B8 − 1/6 + 1/5, B10 − 1/6 + 1/11 salen todas 0 con los valores conocidos.
Sección 12

Los coeficientes que deben ser enteros

De la ecuación veintisiete tenemos d² log Γ(n + 1)/dn² = 1/(n + 1)² + 1/(n + 2)² + 1/(n + 3)² + ⋯ = 1/n − 1/(2n²) + B₂/n³ − B₄/n⁵ + B₆/n⁷ − B₈/n⁹ + ⋯ − (−1)^p B₂ₚθ/n^(2p+1), la ecuación veintinueve. Aquí B₂ₚθ/n^(2p+1) = B₂ₚ/n^(2p+1) − B₂ₚ₊₂/n^(2p+3) + ⋯.

Resultado treinta y cinco: Bₙ/Bₙ₋₂ está cerca de n(n − 1)/(4π²); una tabla de B14 a B20, en la que cada una se sitúa entre dos números enteros y luego se escribe exactamente con la regla de los primos.
Secciones 13 a 15

Cada B a partir de la anterior

Sección 14. Cambiando n por n menos 2 en la ecuación veinticuatro y tomando el cociente de los dos resultados, tenemos Bₙ = (n(n − 1)/(4π²)) Bₙ₋₂ (1 − (2² − 1)/(2ⁿ − 1))(1 − (3² − 1)/(3ⁿ − 1))(1 − (5² − 1)/(5ⁿ − 1))⋯, la ecuación treinta y cuatro, donde 2, 3, 5, etcétera, son números primos.

Las ecuaciones treinta y ocho a cuarenta: cada una aísla una hebra de números de Bernoulli separados diez lugares — B₀, B₁₀, B₂₀, …; B₂, B₁₂, B₂₂, …; B₄, B₁₄, B₂₄, … — como cociente de dos series con coeficientes 1 ± αₙ construidos con (1 ± √5)/2.
Secciones 16 y 17

Una hebra por fórmula

Tomando logaritmos y derivando ambos miembros, tenemos 5(B₀ + B₁₀x¹⁰/10! + B₂₀x²⁰/20! + B₃₀x³⁰/30! + ⋯) = −x ((x⁴/4!)(1 + α₅) − (x¹⁴/14!)(1 + α₁₅) + ⋯) / ((x⁵/5!)(1 + α₅) − (x¹⁵/15!)(1 + α₁₅) + ⋯), la ecuación treinta y ocho, donde αₙ = ((1 + √5)/2)ⁿ + ((1 − √5)/2)ⁿ, de modo que αₙαₘ = αₙ₊ₘ + (−1)ⁿαₘ₋ₙ.

Notas del apéndice por página: B₂ₙ en lugar del habitual Bₙ; cₖ es el coeficiente binomial; la ecuación doce vale para n impar > 1 con tres últimos términos; las deducciones que siguen a (27) y (29) no son válidas porque una serie diverge para x ≥ n; los coeficientes enteros serían impares; (32) a partir de ψ(z + 1) − ψ(½z + 1); N y D son el numerador y el denominador de B₄₄₄.
Sección 18 y la nota de los editores

Las notas de los editores

Nota de los editores, del Apéndice I, las notas sobre el artículo 1. Página 1, ecuación uno: Ramanujan escribe B₂ₙ donde lo habitual es Bₙ. Página 1, ecuación dos: cₖ = n!/(k!(n − k)!), el coeficiente binomial.

How it was made

Examples for: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

The source

The lectures retell the English text of the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). The author died in 1920; the work is in the public domain. The retelling, the drawings and the voice are made by AI and checked against the book by a second model; nothing was edited by hand. How AI is used.

The lectures are free to read, share and quote with a link to this page.

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