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Библиотека · Общественное достояние

Собрание статейСринивасы Рамануджана

Сриниваса Рамануджан · 1911 · пересказ с английского оригинала

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

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ГолосМужской · Charon
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Первая статья, которую гений-самоучка опубликовал в 23 года в Мадрасе: странные закономерности чисел Бернулли, чисел, стоящих за суммами степеней. Большинство его утверждений верны, некоторые — догадки, одно ложно; лекции показывают, какое есть какое.

Это пробная часть: 1 из 37 (статьи).

Из лекций

Dos filas de recuadros de capas, la cotangente y su gemela hiperbólica; al sumarlas desaparece un recuadro de cada dos, y una barra la mitad de larga muestra el trabajo reducido a la mitad.
La receta escondida en la cotangente

Gemelas que se cancelan

El segundo atajo es más astuto. La cotangente tiene una gemela, la cotangente hiperbólica, que se obtiene dando a la misma función un ángulo imaginario. Al sumar las dos se cancela una capa de cada dos, como dos ondas que se anulan entre sí; al restarlas se cancela la otra mitad.

A cada divisor de 24 se le suma uno; se tachan los compuestos; los primos 2, 3, 5, 7, 13 multiplicados dan 2730, el denominador de la fracción; la regla es un teorema.
Adivinar las reglas a partir de la tabla

El juego de lápiz y papel

Para los denominadores encuentra una regla tan sencilla que podría ser un juego de lápiz y papel. Se toma el índice del número de Bernoulli, se anota todo lo que lo divide, se suma uno a cada divisor, se conservan solo los primos y se multiplican: ese es el denominador de la fracción.

Barras de las sumas parciales de uno entre los cuadrados suben y se estabilizan en pi al cuadrado entre seis, cerca de 1,645; sigue el puente hacia los factoriales y las potencias de dos pi.
Trabajo de detective, y una demostración en el aire

Una suma que se estabiliza

¿De dónde salen, para empezar, los límites aproximados? Aquí toma prestado un puente clásico. Hay una suma famosa: sume uno entre cada número entero al cuadrado, o al cubo, o elevado a cualquier potencia par, y obtendrá un número determinado; para los cuadrados es pi al cuadrado dividido entre seis.

Una escalera de peldaños B12, B14, B16, B18, B20, a cada uno de los cuales se llega desde el que está dos lugares más abajo multiplicando por n(n − 1)/(4π²); de 18 a 20 el factor es de unos 9,63.
Medir gigantes desde lejos

Una escalera de vecinos

Su segundo instrumento compara vecinos. Resulta que cada número de Bernoulli es casi exactamente el que está dos lugares antes, multiplicado por un factor sencillo construido con el índice y pi. La aproximación se vuelve excelente muy deprisa a medida que los números crecen.

Las cinco raíces quintas de uno en los vértices de un pentágono regular traen la razón áurea φ ≈ 1,618; cada fórmula de cinco intervalos conserva un número de Bernoulli de cada diez índices; el caso de cuatro intervalos usa √2.
Cribas más finas, y un veredicto honesto

El pentágono y phi

Para mostrar la receta en acción, desarrolla el caso de cinco intervalos.

Por qué leerlo: un joven Ramanujan, solo en Madrás, redescubre un teorema, inventa métodos rápidos y adivina patrones; pocos años después, en Cambridge con Hardy, añade demostraciones rigurosas. Resumen de las fórmulas por intervalos, el veredicto de los editores y las conjeturas ciertas y falsas.
Cribas más finas, y un veredicto honesto

De Madrás a Cambridge

¿Por qué leer hoy un artículo así? Porque es una rara mirada a una gran mente antes de formarse: un joven que trabajaba solo en Madrás, redescubriendo un teorema famoso, inventando maneras rápidas de calcular y adivinando patrones a partir de datos con un instinto seguro para los que importan.

Как это сделано

Примеры для: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

Источник

Лекции пересказывают английского текст: the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). Автор умер в 1920 году; произведение перешло в общественное достояние. Пересказ, рисунки и голос сделаны ИИ и сверены с книгой второй моделью; вручную ничего не правилось. Как используется ИИ.

Лекции можно свободно читать, делиться ими и цитировать со ссылкой на эту страницу.

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