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Библиотека · Общественное достояние

Собрание статейСринивасы Рамануджана

Сриниваса Рамануджан · 1911 · пересказ с английского оригинала

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

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ГолосМужской · Charon
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Первая статья, которую гений-самоучка опубликовал в 23 года в Мадрасе: странные закономерности чисел Бернулли, чисел, стоящих за суммами степеней. Большинство его утверждений верны, некоторые — догадки, одно ложно; лекции показывают, какое есть какое.

Это пробная часть: 1 из 37 (статьи).

Из лекций

Dos barras comparan el trabajo: las ecuaciones dos a cuatro con n medios términos, la ecuación ocho con unos n cuartos; una comprobación para n = 6 da cero.
Cómo hacer desaparecer la mitad de los términos

La mitad de términos que antes

Igualar coeficientes como antes da la ecuación ocho, para n par mayor que 2: c₂Bₙ₋₂/2 − c₆Bₙ₋₆/2³ + c₁₀Bₙ₋₁₀/2⁵ − ⋯ + (n/2^((n+2)/2))(−1)^(n/4) = 0, donde el signo es (−1)^(n/4) cuando n es múltiplo de 4 y (−1)^((n−2)/4) cuando lo es n menos 2.

Un diagrama de barras del tamaño de B2 a B40 en escala de potencias de diez: primero fracciones diminutas, unos 529 en el índice 20, y luego cerca de 2 por 10 a la 16 en el índice 40.
Una fórmula para comprobar el trabajo, y la tabla

Veinte valores: pequeños, luego enormes

Siguiendo así, enumera veinte valores, desde B₂ = 1/6 hasta B₄₀. Al principio siguen siendo pequeños, B₁₄ = 7/6, y luego suben deprisa: B₂₀ = 174611/330, unos 529, y B₄₀ tiene un numerador de 21 cifras sobre un denominador de solo 13530.

Una recta numérica de 6084 a 6244; las pistas dejan 6137 17/138 y 6192 17/138; se descarta 846923 = 7 × 17 × 7117; se conserva 854513 = 11 × 131 × 593, aunque su cociente no es primo.
La parte fraccionaria, y un número fijado por su tamaño

Dos supervivientes de 160

La sección diez lo junta todo. Suponga que lo único que sabe es que B₂₂ está entre 6084 y 6244. Su parte fraccionaria debe ser 17/138, su numerador debe ser divisible por 11 y B₂₂ − 11/6 debe ser divisible por 5.

Ecuación treinta y cuatro: Bₙ = n(n − 1)/(4π²) · Bₙ₋₂ por factores cercanos a 1; resultado treinta y cinco: el cociente se aproxima a n(n − 1)/(4π²); la escalera: para B₁₆, 6,079 × 7/6 ≈ 7,09, entre 7 y 8, más 47/510 da 3617/510; hasta B₂₀ = 174611/330.
Cuántas cifras, y el valor siguiente a partir del anterior

Una escalera de cocientes

La sección catorce compara vecinos. Dividir la ecuación veinticuatro para n entre la misma para n menos 2 da la ecuación treinta y cuatro: Bₙ = (n(n − 1)/(4π²)) Bₙ₋₂ (1 − (2² − 1)/(2ⁿ − 1))(1 − (3² − 1)/(3ⁿ − 1))⋯.

La tangente y la cosecante sustituyen a la cotangente; ecuación treinta y seis (4/3)Bₙ(2ⁿ − 1) = c₆Bₙ₋₆(2ⁿ⁻⁶ − 1) − ⋯ + ⅓n o ⅙n; para n = 6: (4/3)(1/42)(63) = 2 = ⅓·6; la ecuación treinta y siete para n = 5 da 5/6 en ambos miembros; fórmulas de uno, dos y tres intervalos, y las raíces p-ésimas dan fórmulas de p intervalos.
Un gigante descrito, y cribas de cinco vías

Tangente, cosecante, intervalos

La sección dieciséis señala que la tangente y la cosecante pueden sustituir a la cotangente. Un resultado es la ecuación treinta y seis: (4/3)Bₙ(2ⁿ − 1) = c₆Bₙ₋₆(2ⁿ⁻⁶ − 1) − c₁₂Bₙ₋₁₂(2ⁿ⁻¹² − 1) + ⋯, más un último término ⅓n o ⅙n con un signo.

La nota de los editores: B₂ₙ en lugar del habitual Bₙ, cₖ el coeficiente binomial, la ecuación doce para n impar > 1; las deducciones que siguen a (27) y (29) no son válidas porque una serie diverge; la afirmación veinte es von Staudt–Clausen y la dieciséis ya la conocía Euler; las afirmaciones 16, 20, 21 tienen demostraciones apoyadas en (28), (30), (32), no demostradas; 17 y 18 son corolarios; 14, 15 y 19 son conjeturas.
Cribas de cuatro vías, y el veredicto de los editores

Los editores clasifican

El libro añade luego una nota de los editores de los artículos reunidos, y merece leerse con atención, porque clasifica todo lo que hemos visto según su situación.

Как это сделано

Примеры для: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

Источник

Лекции пересказывают английского текст: the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). Автор умер в 1920 году; произведение перешло в общественное достояние. Пересказ, рисунки и голос сделаны ИИ и сверены с книгой второй моделью; вручную ничего не правилось. Как используется ИИ.

Лекции можно свободно читать, делиться ими и цитировать со ссылкой на эту страницу.

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