Collected Papers of Srinivasa Ramanujan
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The first paper the self-taught genius ever published, written in Madras at 23: strange patterns in the Bernoulli numbers, the numbers behind sums of powers. Most of his claims are true, some are guesses, and one is false; the lectures show which is which.
This is a sample: 1 of 37 papers.
Igualar coeficientes como antes da la ecuación ocho, para n par mayor que 2: c₂Bₙ₋₂/2 − c₆Bₙ₋₆/2³ + c₁₀Bₙ₋₁₀/2⁵ − ⋯ + (n/2^((n+2)/2))(−1)^(n/4) = 0, donde el signo es (−1)^(n/4) cuando n es múltiplo de 4 y (−1)^((n−2)/4) cuando lo es n menos 2.
Siguiendo así, enumera veinte valores, desde B₂ = 1/6 hasta B₄₀. Al principio siguen siendo pequeños, B₁₄ = 7/6, y luego suben deprisa: B₂₀ = 174611/330, unos 529, y B₄₀ tiene un numerador de 21 cifras sobre un denominador de solo 13530.
La sección diez lo junta todo. Suponga que lo único que sabe es que B₂₂ está entre 6084 y 6244. Su parte fraccionaria debe ser 17/138, su numerador debe ser divisible por 11 y B₂₂ − 11/6 debe ser divisible por 5.
La sección catorce compara vecinos. Dividir la ecuación veinticuatro para n entre la misma para n menos 2 da la ecuación treinta y cuatro: Bₙ = (n(n − 1)/(4π²)) Bₙ₋₂ (1 − (2² − 1)/(2ⁿ − 1))(1 − (3² − 1)/(3ⁿ − 1))⋯.
La sección dieciséis señala que la tangente y la cosecante pueden sustituir a la cotangente. Un resultado es la ecuación treinta y seis: (4/3)Bₙ(2ⁿ − 1) = c₆Bₙ₋₆(2ⁿ⁻⁶ − 1) − c₁₂Bₙ₋₁₂(2ⁿ⁻¹² − 1) + ⋯, más un último término ⅓n o ⅙n con un signo.
El libro añade luego una nota de los editores de los artículos reunidos, y merece leerse con atención, porque clasifica todo lo que hemos visto según su situación.
Examples for: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography
The lectures retell the English text of the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). The author died in 1920; the work is in the public domain. The retelling, the drawings and the voice are made by AI and checked against the book by a second model; nothing was edited by hand. How AI is used.
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