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Collected Papers ofSrinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan · 1911 · retold from the English original

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

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LanguageEnglishRussianSpanish
Level1 · As written2 · Formulas explained3 · Formulas in words4 · Ideas and examples5 · Big picture
VoiceMale · Charon
DrawingsGraphic inkWhite on black

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The first paper the self-taught genius ever published, written in Madras at 23: strange patterns in the Bernoulli numbers, the numbers behind sums of powers. Most of his claims are true, some are guesses, and one is false; the lectures show which is which.

This is a sample: 1 of 37 papers.

From the lectures

La función x cot x se escribe de dos maneras y se compara término a término en un recuadro, que entrega los números; luego una barra la mitad de larga muestra el trabajo que se ahorra al emparejarla con su gemela.
Dónde viven los números de Bernoulli

Escribir dos veces, comparar

Esa función es la cotangente de la trigonometría escolar, multiplicada por el ángulo.

A la izquierda, la regla de los denominadores marcada como teorema cierto de Clausen y von Staudt; a la derecha, la conjetura del numerador primo, rota por 174611 = 283 × 617.
Leer leyes en los ejemplares

Regla cierta, conjetura fallida

Una prima cercana de la regla dice que la parte de cada número de Bernoulli que queda tras su parte entera está hecha de uno entre cada uno de esos primos, sumados, menos uno.

Un único recuadro, series de coeficientes enteros, con flechas hacia tres resultados que daría: partes fraccionarias, denominadores iguales, impares; el recuadro lleva la marca de sin demostrar, mientras que los tres resultados llevan la marca de ciertos.
Del tamaño aproximado al valor exacto, y demostraciones pendientes

Una afirmación sin demostrar

Luego intenta demostrar sus propios patrones. Su plan es mostrar que ciertas sumas infinitas, construidas con uno entre los cuadrados de números enteros desplazados y con los primos mayores que tres, pueden reescribirse como series cuyos coeficientes son todos enteros.

El número de Bernoulli de índice 444: una fracción de la regla de los primos, una parte entera de 631 cifras que empieza por 1751, un numerador de 639 cifras que empieza por 1588, y cifras finales conocidas; parte de ello se apoya en la conjetura no demostrada de los primos.
Cuánto mide, y en qué termina

El gigante B444

Tercero, la pieza estrella: el número de Bernoulli de índice cuatrocientos cuarenta y cuatro. En 1911, escribirlo a mano era impensable, y sin embargo Ramanujan lo describe con detalle.

Las raíces quintas de uno sobre un pentágono traen la razón áurea ≈ 1,618 y los números enteros 1, 3, 4, 7, 11; cada fórmula de cinco intervalos conserva números de Bernoulli separados diez índices; el caso de cuatro intervalos usa √2; un truco, muchos atajos.
El patrón general, y lo que dijeron los editores

Pentágono y razón áurea

Para mostrarla en acción, desarrolla el caso de cinco intervalos. Las raíces quintas de uno traen consigo la razón áurea, el número de aproximadamente uno coma seiscientos dieciocho que aparece en los girasoles, en los números de Fibonacci y en la arquitectura clásica.

Por qué leerlo: una mente autodidacta que redescubre un teorema, encuentra atajos y adivina patrones; después, con Hardy, añade rigor; resumen de las fórmulas por intervalos, el veredicto y su primera manera.
El patrón general, y lo que dijeron los editores

Antes del rigor

¿Por qué sigue valiendo la pena leerlo? Porque muestra una mente matemática en su mismo comienzo: autodidacta, sin acceso a la bibliografía, redescubriendo un teorema famoso, encontrando atajos de cálculo rápidos y adivinando patrones a partir de datos con un instinto seguro para los que importan.

How it was made

Examples for: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

The source

The lectures retell the English text of the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). The author died in 1920; the work is in the public domain. The retelling, the drawings and the voice are made by AI and checked against the book by a second model; nothing was edited by hand. How AI is used.

The lectures are free to read, share and quote with a link to this page.

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