Lecturized
EN
Library · Public domain

Collected Papers ofSrinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan · 1911 · retold from the English original

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

Cover illustration of the book

Choose your version

The same text, told at every level, in every language and look shown here. Pick, then listen or download.

LanguageEnglishRussianSpanish
Level1 · As written2 · Formulas explained3 · Formulas in words4 · Ideas and examples5 · Big picture
VoiceMale · Charon
DrawingsGraphic inkWhite on black

Listen and watch

The same player the product gives for your own book: the voice, the drawings as they are drawn, the text.

The first paper the self-taught genius ever published, written in Madras at 23: strange patterns in the Bernoulli numbers, the numbers behind sums of powers. Most of his claims are true, some are guesses, and one is false; the lectures show which is which.

This is a sample: 1 of 37 papers.

From the lectures

Ряды клеток с коэффициентами котангенса и его гиперболического двойника; их сумма оставляет лишь каждое второе число Бернулли, а полоса вдвое короче показывает уменьшившуюся работу.
Семейство дробей в котангенсе

Двойник сокращает каждый второй член

Его второе улучшение смешивает обычный котангенс с его гиперболическим двойником — той же функцией, вычисленной от мнимого аргумента.

Столбчатая диаграмма величины первых двадцати чисел Бернулли по шкале степеней десяти: сначала малые, потом рост примерно до десяти в шестнадцатой.
Двадцать дробей и закономерности в них

Двадцать образцов

Продолжая так, он выписывает двадцать чисел Бернулли. Какое-то время они остаются маленькими — одна шестая, одна тридцатая, одна сорок вторая, снова одна тридцатая, пять шестьдесят шестых, — а потом быстро растут.

Формула: число Бернулли — это два эн факториал на два пи в степени эн, умноженные на сумму чуть больше единицы; для номера два она даёт ровно одну шестую; для десяти факториал разложение логарифма даёт 15,10441.
Определяем число по его величине

Величина через факториал

Откуда берутся такие грубые пределы? Параграф одиннадцатый приводит классическую формулу: число Бернулли равно двум, умноженным на факториал его номера, делённым на два пи в степени номера и умноженным на сумму единиц, делённых на каждое целое число в степени номера.

Три пути — обратные квадраты, знакопеременный хвост и гармоническая сумма — ведут к результату лишь через недоказанный мост: если мы сможем доказать.
Путь к доказательству — с одним разрывом

Три пути, один недостающий мост

Затем он повторяет приём дважды.

Формулы с интервалом один, два и три; корни степени p из единицы (или из i при чётном p), вставленные в котангенс, дают формулы с интервалом p и нитями с шагом 2p; пять корней пятой степени из единицы в вершинах правильного пятиугольника; сумма sin xα по пяти корням оставляет лишь каждую десятую степень: 5(x⁵/5! − x¹⁵/15! + ⋯).
Другие отправные точки и пятикратные сита

Пять корней на пятиугольнике

Во-вторых, число способов сокращения. Рамануджан называет свои прежние результаты формулами с интервалом один, два и три — по тому, насколько далеко друг от друга стоят уцелевшие числа Бернулли.

Примечание редакторов: иная нумерация и биномиальные коэффициенты; рекуррентное соотношение верно для нечётных номеров больше единицы; два вывода неверны, потому что ряд расходится; основные результаты известны (фон Штаудт — Клаузен, Эйлер); из восьми утверждений у трёх условные доказательства, два — следствия, три — гипотезы.
Четырёхкратное сито и окончательный вердикт

Три вида утверждений

Затем в книге напечатано примечание редакторов собрания статей, и это подходящее место, чтобы подвести итоги. Сначала мелкие уточнения: Рамануджан нумерует числа Бернулли иначе, чем большинство книг, а числа-коэффициенты в его равенствах — это обычные биномиальные коэффициенты.

How it was made

Examples for: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

The source

The lectures retell the English text of the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). The author died in 1920; the work is in the public domain. The retelling, the drawings and the voice are made by AI and checked against the book by a second model; nothing was edited by hand. How AI is used.

The lectures are free to read, share and quote with a link to this page.

Your own hard book, the same way

Upload a textbook or any difficult book. The first five minutes are free.

Upload a book