Library · Public domain

Collected Papers ofSrinivasa Ramanujan

Name: Collected Papers of Srinivasa Ramanujan
Author: Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan · 1911 · retold from the English original

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

Choose your version

The same text, told at every level, in every language and look shown here. Pick, then listen or download.

LanguageEnglish Russian Spanish

Level1 · As written 2 · Formulas explained 3 · Formulas in words 4 · Ideas and examples 5 · Big picture

VoiceMale · Charon

DrawingsGraphic ink White on black

Listen and watch

The same player the product gives for your own book: the voice, the drawings as they are drawn, the text.

The first paper the self-taught genius ever published, written in Madras at 23: strange patterns in the Bernoulli numbers, the numbers behind sums of powers. Most of his claims are true, some are guesses, and one is false; the lectures show which is which.

This is a sample: 1 of 37 papers.

From the lectures

Два ряда клеток с коэффициентами котангенса и гиперболического котангенса; при сложении остаются B0, B4, B8, при вычитании — B2, B6, B10; две полосы в конце сравнивают половину членов с четвертью.

Некоторые свойства чисел Бернулли

Каждый второй член сокращается

Параграф 3. Далее, −½x(ctg ½x + cth ½x) = −½x(ctg ½x + i ctg ½ix) = 2(B₀ + B₄ x⁴/4! + B₈ x⁸/8! + ⋯) в силу равенства один.

К каждому делителю 24 прибавляют единицу; составные вычёркивают; оставшиеся простые 2, 3, 5, 7, 13 перемножаются в 2730.

Параграфы 5–7

Строим знаменатель B24

Параграф 7. Теперь рассмотрим знаменатели.

Равенство двадцать девять даёт хвост обратных квадратов по степеням 1/n; затем сочетания B2 − 1/6, −B4 − 1/6 + 1/5, B6 − 1/6 + 1/7, −B8 − 1/6 + 1/5, B10 − 1/6 + 1/11 при известных значениях все дают 0.

Параграф 12

Коэффициенты, которые обязаны быть целыми

Из равенства двадцать семь имеем d² log Γ(n + 1)/dn² = 1/(n + 1)² + 1/(n + 2)² + 1/(n + 3)² + ⋯ = 1/n − 1/(2n²) + B₂/n³ − B₄/n⁵ + B₆/n⁷ − B₈/n⁹ + ⋯ − (−1)^p B₂ₚθ/n^(2p+1) — равенство двадцать девять. Здесь B₂ₚθ/n^(2p+1) = B₂ₚ/n^(2p+1) − B₂ₚ₊₂/n^(2p+3) + ⋯.

Результат тридцать пять: Bₙ/Bₙ₋₂ близко к n(n − 1)/(4π²); таблица от B14 до B20, где для каждого найдено, между какими двумя целыми оно лежит, а затем оно записано точно по правилу простых.

Параграфы 13–15

Каждое B по предыдущему

Параграф 14. Заменяя n на n − 2 в равенстве двадцать четыре и взяв отношение двух результатов, получаем Bₙ = (n(n − 1)/(4π²)) Bₙ₋₂ (1 − (2² − 1)/(2ⁿ − 1))(1 − (3² − 1)/(3ⁿ − 1))(1 − (5² − 1)/(5ⁿ − 1))⋯ — равенство тридцать четыре, где 2, 3, 5 и так далее — простые числа.

Равенства тридцать восемь — сорок: каждое выделяет одну нить чисел Бернулли через десять мест — B₀, B₁₀, B₂₀, …; B₂, B₁₂, B₂₂, …; B₄, B₁₄, B₂₄, … — как отношение двух рядов с коэффициентами 1 ± αₙ, построенными из (1 ± √5)/2.

Параграфы 16 и 17

По нити на формулу

Логарифмируя и дифференцируя обе части, получаем 5(B₀ + B₁₀x¹⁰/10! + B₂₀x²⁰/20! + B₃₀x³⁰/30! + ⋯) = −x ((x⁴/4!)(1 + α₅) − (x¹⁴/14!)(1 + α₁₅) + ⋯) / ((x⁵/5!)(1 + α₅) − (x¹⁵/15!)(1 + α₁₅) + ⋯) — равенство тридцать восемь, где αₙ = ((1 + √5)/2)ⁿ + ((1 − √5)/2)ⁿ, так что αₙαₘ = αₙ₊ₘ + (−1)ⁿαₘ₋ₙ.

Примечания из приложения по страницам: B₂ₙ вместо обычного Bₙ; cₖ — биномиальный коэффициент; равенство двенадцать верно при нечётном n > 1 с тремя вариантами последнего члена; выводы после (27) и (29) неверны, потому что ряд расходится при x ≥ n; целые коэффициенты были бы нечётны; (32) — из ψ(z + 1) − ψ(½z + 1); N и D — числитель и знаменатель B₄₄₄.

Параграф 18 и примечание редакторов

Примечания редакторов

Примечание редакторов из приложения I, примечания к статье 1. Страница 1, равенство один: Рамануджан пишет B₂ₙ там, где обычно пишут Bₙ. Страница 1, равенство два: cₖ = n!/(k!(n − k)!), биномиальный коэффициент.

How it was made

Level 1 · Word for word
Demonstrator
White on black · regular
questions
places in the book
worked examples
Voice: Charon (Gemini)
Told in Russian

Examples for: a curious adult with school maths who likes number puzzles and knows Ramanujan's story; add one modern instance per idea, such as a calculator, computer algebra or cryptography

The source

The lectures retell the English text of the Cambridge 1927 edition (Internet Archive pli.kerala.rare.28155). The author died in 1920; the work is in the public domain. The retelling, the drawings and the voice are made by AI and checked against the book by a second model; nothing was edited by hand. How AI is used.

The lectures are free to read, share and quote with a link to this page.

Your own hard book, the same way

Upload a textbook or any difficult book. The first five minutes are free.

Upload a book